• BZOJ-3435. [Wc2014]紫荆花之恋

    强强和萌萌是一对好朋友。有一天他们在外面闲逛,突然看到前方有一棵紫荆树。这已经是紫荆花飞舞的季节了,无数的花瓣以肉眼可见的速度从紫荆树上长了出来。

    仔细看看的话,这个大树实际上是一个带权树。每个时刻它会长出一个新的叶子节点,每个节点上有一个可爱的小精灵,新长出的节点上也会同时出现一个新的小精灵。小精灵是很萌但是也很脆弱的生物,每个小精灵 $i$ 都有一个感受能力值 $r_i$,小精灵 $i,j$ 成为朋友当且仅当在树上 $i$ 和 $j$ 的距离 $\text{dist}(i,j) \leq r_i+r_j$,其中 $\text{dist}(i,j)$ 表示在这个树上从 $i$ 到 $j$ 的唯一路径上所有边的边权和。

    强强和萌萌很好奇每次新长出一个叶子节点之后,这个树上总共有几对朋友。

    我们假定这个树一开始为空,节点按照加入的顺序从 $1$ 开始编号。由于强强非常好奇,你必须在他每次出现新结点后马上给出总共的朋友对数,不能拖延哦。

    【输入格式】

    第一行包含一个整数,表示测试点编号。

    第二行包含一个正整数 $n$,表示总共要加入的节点数。

    我们令加入节点前的总共朋友对数是 $\text{last_ans}$,在一开始时它的值为 $0$。

    接下来 $n$ 行中第 $i$ 行有三个非负整数 $ai,ci,ri$,表示结点 $i$ 的父节点的编号为 $a_i \oplus (\text{last_ans} \bmod 10^9)$(其中 $\oplus$ 表示异或,$\text{mod}$ 表示取余,数据保证这样操作后得到的结果介于 $1$ 到 $i-1$ 之间),与父结点之间的边权为 $c_i$,节点 $i$ 上小精灵的感受能力值为 $r_i$。

    注意 $a_1=c_1=0$,表示 $1$ 号节点是根结点,对于 $i>1$,父节点的编号至少为 $1$。

    【输出格式】

    包含 $n$ 行,每行输出 $1$ 个整数,表示加入第 $i$ 个点之后,树上有几对朋友。

    【数据范围】

    $n \leq 10^5$,$1 \leq c_i \leq 10^4$,$a_i \leq 2\times 10^9$,$r_i \leq 10^9$,时限 12s

  • 多项式求除法及求模

    问题是这样的:给定一个 $n$ 次多项式 $A(x)$ 和一个 $m(m \leq n)$ 次多项式 $B(x)$,要求求出两个多项式 $D(x), R(x)$,满足

    \[ \begin{equation} \label{div0} A(x) = D(x)B(x) + R(x) \end{equation} \]

    并且 $deg D \leq degA - degB = n - m$,$degR < m$

    在解决这个问题之前你需要掌握多项式求逆,利用快速傅里叶变换可以在 $\mathcal O(n\log n)$ 的复杂度内求出这个问题的解

    多项式除法在很多问题中都有应用,例如多项式的扩展欧几里得算法、线性递推的优化等等

  • BZOJ-3557. [Ctsc2014]随机数

    露露、花花和萱萱最近对计算机中的随机数产生了兴趣。为大家所熟知的是,由计算机生成的随机数序列并非真正的随机数,而是由一定法则生成的伪随机数。

    某一天,露露了解了一种生成随机数的方法,称为 Mersenne twister。给定初始参数 $m \in \mathbb Z^+$,$x \in \mathbb Z \cap [0, 2^m)$ 和初值 $M_0 \in \mathbb Z \cap [0, 2^m)$,它通过下列递推式构造伪随机数列 ${M_n}$:

    [ \begin{equation} M_n = \left { \begin{aligned} &2M_{n-1}& ~2M_{n-1} < 2^m \ (2M_{n-1} &-2^m) \oplus x & ~2M_{n-1} \geq 2^m \ \end{aligned} \right. \end{equation} ]

    其中 $\oplus$ 是二进制异或运算(C/C++ 中的 ^ 运算)。而参数 $x$ 的选取若使得该数列在长度趋于无穷时,近似等概率地在 $\mathbb Z \cap (0, 2^m)$ 中取值,就称 $x$ 是好的。例如,在 $m > 1$ 时 $x=0$ 就显然不是好的。

    在露露向伙伴介绍了 Mersenne twister 之后,花花想用一些经典的随机性测试来检验它的随机性强度。为此,花花使用计算机计算了一些 $M_k$。

    但细心的萱萱注意到,花花在某次使用二进制输入 $k$ 时,在末尾多输入了 $l$ 个 $0$。她正想告诉花花这个疏忽,然而花花已经计算并记录了错误的 $M_k$ 值而没有记录 $k$ 的值。虽然这其实不是什么致命的问题,但是在萱萱告诉花花她的这个疏漏时,作为完美主义者的花花还是恳求萱萱帮她修正 $M_k$ 的值。萱萱便把这个任务交给了他的 AI ——你!

    【输入格式】

    输入文件 random.in 的第一行包含一个正整数 $m$,第二行为二进制表示的 $x$(共 $m$ 个数,从低位到高位排列),第三行为二进制表示的 $M_0$(排列方式同 $x$),第四行包含一个整数 $type$。

    接下来分为两种可能的情况:

    1. $type = 0$(萱萱记下了花花的输入):则第五行包含一个整数,表示萱萱记下来的正确的 $k$ 值。
    2. $type = 1$(萱萱未能记下花花的输入):则第五行为 $l$,第六行输入花花计算出错误的二进制表示的 $M_k$。

    【输出格式】

    输出文件 random.out 仅一行,为一个 $m$ 位的 01 串,表示你求得的正确的 $M_k$(同样要求从低位到高位排列)

    【数据范围】

    对于 $type = 0$ 的部分,$m, k \leq 10^6$

    对于 $type = 1$ 的部分,$m \leq 10^3, k \leq 10^{18}, l \leq 10$,$x$ 是“好的”

    每个数据点时限 20s,并且开启编译器优化

  • 扩展大步小步法解决离散对数问题

    离散对数(Discrete Logarithm)问题是这样一个问题,它是要求解模方程

  • BZOJ-3812. 主旋律

    题目给出一个 $n$ 个点,$m$ 条边的有向图,要求求出删掉一些边以后,整个图强联通的方案数,其中 $n \leq 15, m \leq n(n-1)$

    样例是这样的,十分良心,一共有 $9390$ 种方案

    题目链接:BZOJ-3812

  • BZOJ-4002. [JLOI2015]有意义的字符串

    给定正整数 $b, d, n$,计算

    \[ \left \lfloor \left (\frac{b + \sqrt d}{2}\right )^n \right \rfloor \bmod 7528443412579576937 \]

    其中 $0 < b^2 \leq d < (b + 1)^2 \leq 10^{18}, n \leq 10^{18}$,并且 $b \bmod 2 = 1, d \bmod 4 = 1$

    题目连接:BZOJ-4002(这里的题面不完全,我上面打出来的是完整的)

  • 多项式求逆元

    概述

    多项式求逆元是多项式除法和多项式取模的必要过程,在竞赛中,有时候多项式求逆元的应用比多项式的除法还要多,用快速傅里叶变换以及倍增算法可以做到在 $\mathcal O(n\log n)$ 的时间内求出一个多项式的逆元

    基本概念

    在介绍多项式的逆元之前,先说明一些概念:多项式的度、多项式的逆元、多项式的除法和取余

    对于一个多项式 $A(x)$,称其最高项的次数为这个多项式的(degree),记作 $deg A$

    对于多项式 $A(x), B(x)$,存在唯一的 $Q(x), R(x)$ 满足 $A(x) = Q(x)B(x) + R(x)$,其中 $deg R < deg B$,我们称 $Q(x)$ 为 $B(x)$ 除 $A(x)$ 的,$R(x)$ 为 $B(x)$ 除 $A(x)$ 的余数,可以记作

    \[ A(x) \equiv R(x) \pmod {B(x)} \]