Codeforces 上的一些组合计数问题

Codeforces 15E. Triangles

Problem:给出一个有规律的金字塔(如图),黑色的边是可以走路径,要求求出包含 H 点的简单回路(不经过一个顶点两次)的条数,并且这个回路围住的部分不可以包含灰色的三角形,答案对 10^9+9 取模,其中 n \leq 10^6,并且一定是一个偶数

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Example:当 n = 2 时,一共有 10 种方案,其中 5 种是这样,另外的是顺时针顺序地走

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Solution:首先第 1 层是最特殊的,因为这里没有灰色的三角形,然后注意到灰色的部分把整个金字塔分成了左部和右部

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路径现在可以分成三个部分

  • 在第一层移动,这一共 10 种(见样例)
  • 进入左部或右部后直接回到 H
  • 进入左部(右部)后经过 E 点进入右部(左部)

对于第二种情况,在第一层的部分走法可以是(只有逆时针部分,实际上有 8 种)

  • A \rightarrow B \rightarrow D \rightarrow \text{LeftPart} \rightarrow E \rightarrow C \rightarrow A
  • A \rightarrow B \rightarrow D \rightarrow \text{LeftPart} \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow C \rightarrow A
  • A \rightarrow B \rightarrow E \rightarrow \text{RightPart} \rightarrow F \rightarrow C \rightarrow A
  • A \rightarrow B \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow \text{RightPart} \rightarrow F \rightarrow C \rightarrow A

对于第三种情况,在第一层(原来图中的两层现在算一层,也就是下面的 n 是题目中 n\frac{1}{2})的部分走法有 2 种,左部到右部和右部到左部

现在要统计的就是在左部和右部内有多少种方案,因为左部右部对称,所以答案是一样的,我们来考虑左部

S_n 表示在有 n 层的金字塔中,走左部的方案数,因为走进左部后每一层都会遇到凹进去的部分,这部分只要枚举一下走了多远可以统计出第 n 层一共有 2\sum_{i=1}^{n-2} 2^i + 1 = 2^n - 3 这么多的情况

然后要走到第 n 层后就是 \prod_{i=2}^{n} (2^i - 3) 种情况,然后走回去的路径有 4 种选择,因此

 S_n = \sum_{i=2}^{n} 4\prod_{j=2}^i (2^j - 3)

答案是 2S_n^2 + 8S_n + 10 (more…)

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牛顿迭代法在多项式运算的应用

总算是快把 FFT 和生成函数的各种东西补了好多,膜拜策爷的论文和 Picks 的博客 QAQ

这篇文章大概就是说如何用牛顿迭代法来解满足 G(F(z)) \equiv 0 \pmod {z^n}F(z)

然后这东西可以比较方便地计算 \sqrt{A(z)}e^{A(z)},也就是多项式开根、求指数对数之类鬼畜的东西,在生成函数计数中十分有用

顺便一提,这里说的“多项式”实际上你可以直接理解为生成函数或者形式幂级数

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平面图转对偶图及点定位

平面图(planar graph)就是一个可以在平面上画出来的图,并且所有的边只在顶点处相交。平面图的对偶图(dual graph)是将这个平面的每个区域看成点,原图每一条边所属的两个相邻的区域对应在对偶图中的点有连边

比如下面这张图(来源于 Wikipedia)

300px-Duals_graphs.svg

蓝色的部分就是一个平面图,红色的就是它的对偶图

平面图的点定位(point location)就是找出一个点属于这个图的哪个区域

这篇文章介绍如何将一个平面图转换为其对偶图,和基于扫描线的离线的点定位算法(对着代码看了一天终于会了QAQ)

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多项式的多点求值与快速插值

多项式的多点求值(multi-point evaluation)是给出一个多项式 A(x),和 n 个点 x_0, x_1, \cdots, x_{n-1},要求求出 A(x_0), A(x_1), \cdots, A(x_{n-1})

相反的,多项式的插值(interpolation)是给出 n+1 个点 (x_0, y_0), (x_1, y_1), \cdots, (x_n, y_n),求出一个 n 次多项式,使得这些点都在这个多项式上

这两个问题实际上是在多项式的点值表示(point-value representation)和系数表示(coefficient representation)之间转换的方法,在快速傅里叶变换中由于带入值的特殊性质,可以在 \mathcal O(n\log n) 的之间内将两种东西互相转换,但是,如果是任意给定点要求求值或者插值,就没有比较好的性质可以利用,但是仍然有比较快速的方法来计算它们

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BZOJ-3435. [Wc2014]紫荆花之恋

强强和萌萌是一对好朋友。有一天他们在外面闲逛,突然看到前方有一棵紫荆树。这已经是紫荆花飞舞的季节了,无数的花瓣以肉眼可见的速度从紫荆树上长了出来。

仔细看看的话,这个大树实际上是一个带权树。每个时刻它会长出一个新的叶子节点,每个节点上有一个可爱的小精灵,新长出的节点上也会同时出现一个新的小精灵。小精灵是很萌但是也很脆弱的生物,每个小精灵 i 都有一个感受能力值 r_i,小精灵 i,j 成为朋友当且仅当在树上 ij 的距离 \text{dist}(i,j) \leq r_i+r_j,其中 \text{dist}(i,j) 表示在这个树上从 ij 的唯一路径上所有边的边权和。

强强和萌萌很好奇每次新长出一个叶子节点之后,这个树上总共有几对朋友。

我们假定这个树一开始为空,节点按照加入的顺序从 1 开始编号。由于强强非常好奇,你必须在他每次出现新结点后马上给出总共的朋友对数,不能拖延哦。

【输入格式】

第一行包含一个整数,表示测试点编号。

第二行包含一个正整数 n,表示总共要加入的节点数。

我们令加入节点前的总共朋友对数是 \text{last_ans},在一开始时它的值为 0

接下来 n 行中第 i 行有三个非负整数 ai,ci,ri,表示结点 i 的父节点的编号为 a_i \oplus (\text{last_ans} \bmod 10^9)(其中 \oplus 表示异或,\text{mod} 表示取余,数据保证这样操作后得到的结果介于 1i-1 之间),与父结点之间的边权为 c_i,节点 i 上小精灵的感受能力值为 r_i

注意 a_1=c_1=0,表示 1 号节点是根结点,对于 i>1,父节点的编号至少为 1

【输出格式】

包含 n 行,每行输出 1 个整数,表示加入第 i 个点之后,树上有几对朋友。

【数据范围】

n \leq 10^51 \leq c_i \leq 10^4a_i \leq 2\times 10^9r_i \leq 10^9,时限 12s

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多项式除法及求模

问题是这样的:给定一个 n 次多项式 A(x) 和一个 m(m \leq n) 次多项式 B(x),要求求出两个多项式 D(x), R(x),满足

 \begin{equation} \label{div0} A(x) = D(x)B(x) + R(x) \end{equation}

并且 deg D \leq degA - degB = n - mdegR < m

在解决这个问题之前你需要掌握多项式求逆,利用快速傅里叶变换可以在 \mathcal O(n\log n) 的复杂度内求出这个问题的解

多项式除法在很多问题中都有应用,例如多项式的扩展欧几里得算法、线性递推的优化等等

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BZOJ-3557. [Ctsc2014]随机数

这是 CTSC2014 一道陈老师的可怕题目!

露露、花花和萱萱最近对计算机中的随机数产生了兴趣。为大家所熟知的是,由计算机生成的随机数序列并非真正的随机数,而是由一定法则生成的伪随机数。

某一天,露露了解了一种生成随机数的方法,称为 Mersenne twister。给定初始参数 m \in \mathbb Z^+x \in \mathbb Z \cap [0, 2^m) 和初值 M_0 \in \mathbb Z \cap [0, 2^m),它通过下列递推式构造伪随机数列 {M_n}

 \begin{equation*} M_n = \left \{ \begin{aligned} &2M_{n-1}& ~2M_{n-1} < 2^m \\ (2M_{n-1} &-2^m) \oplus x & ~2M_{n-1} \geq 2^m \\ \end{aligned} \right. \end{equation*}

其中 \oplus 是二进制异或运算(C/C++ 中的 ^ 运算)。而参数 x 的选取若使得该数列在长度趋于无穷时,近似等概率地在 \mathbb Z \cap (0, 2^m) 中取值,就称 x 是好的。例如,在 m > 1x=0 就显然不是好的。

在露露向伙伴介绍了 Mersenne twister 之后,花花想用一些经典的随机性测试来检验它的随机性强度。为此,花花使用计算机计算了一些 M_k

但细心的萱萱注意到,花花在某次使用二进制输入 k 时,在末尾多输入了 l0。她正想告诉花花这个疏忽,然而花花已经计算并记录了错误的 M_k 值而没有记录 k 的值。虽然这其实不是什么致命的问题,但是在萱萱告诉花花她的这个疏漏时,作为完美主义者的花花还是恳求萱萱帮她修正 M_k 的值。萱萱便把这个任务交给了他的 AI ——你!

【输入格式】

输入文件 random.in 的第一行包含一个正整数 m,第二行为二进制表示的 x(共 m 个数,从低位到高位排列),第三行为二进制表示的 M_0(排列方式同 x),第四行包含一个整数 type

接下来分为两种可能的情况:

  1. type = 0(萱萱记下了花花的输入):则第五行包含一个整数,表示萱萱记下来的正确的 k 值。
  2. type = 1(萱萱未能记下花花的输入):则第五行为 l,第六行输入花花计算出错误的二进制表示的 M_k

【输出格式】

输出文件 random.out 仅一行,为一个 m 位的 01 串,表示你求得的正确的 M_k(同样要求从低位到高位排列)

【数据范围】

对于 type = 0 的部分,m, k \leq 10^6

对于 type = 1 的部分,m \leq 10^3, k \leq 10^{18}, l \leq 10x 是“好的”

每个数据点时限 20s,并且开启编译器优化

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扩展大步小步法解决离散对数问题

离散对数(Discrete Logarithm)问题是这样一个问题,它是要求解模方程

 a^x \equiv b \pmod m

这个问题是否存在多项式算法目前还是未知的,这篇文章先从 m 是质数开始介绍大步小步法(Baby Step Giant Step)来解决它,之后再将其应用到 m 是任意数的情况。这个算法可以在 \mathcal O(\sqrt m) 的时间内计算出最小的 x,或者说明不存在这样一个 x

题目链接:BZOJ-2480SPOJ-MODBZOJ-3239

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