Bernstein多项式和连续函数的多项式近似

开学前随手翻了一下数值分析的教材,发现里面提到了一个定理

设$I = [0, 1]$,$f \in C(I)$,那么存在一串多项式 $\{ p_n \}$,满足 $\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in I} |p_n(x) - f(x)| = 0$。

定理中的 $p_n$ 可以构造性的找出来,下面的Bernstein多项式就是一种可能

 p_n(x) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} x^i(1-x)^{n-i} f(\frac{i}{n})

这有一个概率论版本的证明:

首先考虑一串独立的服从Bernoulli分布的随机变量$X_1, X_2, \cdots$,满足$\mathbb P[X_i = 1] = x$。令$S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_n$,那么有

 \mathbb E[f(S_n)] = \sum_{i=0}^n {n \choose i} p^i(1-p)^{n-i} f(\frac{i}{n}) = p_n(p)

那么对于$\delta > 0$有如下估计

 \begin{aligned} |p_n(x) - f(x)| & = |\mathbb E[f(S_n) - f(x)]| \leq \mathbb E[|f(S_n) - f(x)|] \\ &\leq \mathbb E[|f(S_n) - f(x)| \chi_{\{|S_n - x| < \delta\}}] + 2\sup_{y\in I} |f(y)| \mathbb P[|S_n - x| \geq \delta] \end{aligned}

由于$f \in C(I)$,其在$I$上一致连续并且有界,对于$\varepsilon > 0$,有$\delta > 0$使得当$|a - b| < \delta$时有$|f(a) - f(b)| < \varepsilon$。另外,根据Chebyshev不等式并且注意到$\mathbb E[S_n] = x$

 \mathbb P[|S_n - x| \geq \delta] \leq \frac{\text{Var}[S_n]}{\delta^2} = \frac{x(1-x)}{n\delta^2} \leq \frac{1}{4n\delta^2}

最终我们有如下估计

 \sup_{x \in I} |p_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon + \frac{\sup_{y\in I}|f(y)|}{2n\delta^2}

这样最后就可以得到相应的结论。同时,这个方法还可以构造出一系列类似的多项式。

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