一道有意思的题目

前一段时间在做题的时候看到一道比较有意思的题目,大意是这样的

在单位圆周C上任意给出n个点w_1, \cdots, w_n,要求证明在这个圆周C上存在一个点w使得它到前面n个点距离的乘积为1。也就是

 \prod_{i=1}^n | w - w_i | = 1

这道题目是从 Stein 的 Complex Analysis 上来的,一眼看过去似乎和复分析没有任何关系… 但是却可以利用极大模原理来证明w的存在性。

大概是首先将w_1, \cdots, w_n放在复平面上,看成一个复数。然后定义函数

 f(z) = \prod_{i=1}^n (z - w_i)

这个函数可以定义在整个\mathbb C上并且是一个整函数。考虑其在z = 0处的模|f(0)| = \prod_{i=1}^n |w_i| = 1,那么按照极大模原理,f(z)在开单位圆\mathbb D内部不能达到极大模(除非它是常数),因此边界C = \partial \mathbb D上一定存在一个点z_0使得|f(z_0)| \geq 1。之后再利用|f(z)|的连续性,以及|f(w_1)|=1和介值定理就可以说明w的存在性。

证明还是挺有意思的,我想了一会儿似乎没想到直接通过几何的办法该怎么证…

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