平面等距变换、三维空间的旋转和四元数

之前寒假从Artin的Algebra上看到了一些有意思的东西,主要是关于对称和旋转这样的变换的。本来很早就想写了但是拖到现在,还有一部分内容是关于平面无限密铺的,估计这学期要被两门分析支配了就以后再说了。有兴趣可以自行阅读Artin的书。

首先可以考虑一个这样的问题,将平面上一点绕着某点P旋转\theta角后再绕Q旋转\varphi角,最终得到的变换是什么?能否表示成为绕另外某个点R旋转某个特定角度的形式?

直接从几何上考虑这个问题似乎比较困难,通过分析平面上的等距变换(即由旋转、平移和对称组成的变换)的结构,可以让我们从代数角度对这样的变换进行化简,将几何问题转化为解线性方程组的问题。

另外,三维空间中的旋转可以通过旋转矩阵来进行描述,但是旋转矩阵的结构较为复杂。我们通过分析旋转的特性,以及二维的酉矩阵P \in SU_2的性质,推导了四元数表示旋转的方法。如果对四元数感兴趣可以直接跳到对应部分,这篇对四元数的介绍的风格可能比较奇特。

对于文中的部分内容,需要基本的线性代数的知识,特别是需要知道特征值等方面的知识。对于证明直接略过是并不影响阅读的。同时,平面等距变换和三维空间中的旋转是两个相对独立的部分,可以分别阅读。

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