这是 CodChef February Challenge 2016 上的一题,题目链接在这里:WRDSUM
给定一个整数 ,考虑其质因子分解
记 且
定义函数
现在给定一个整数 ,你需要计算
答案对 取模
首先看这题 这么大,而且单个数的
是不容易计算的因为要计算你肯定要分解它,那么肯定是要推推式子了
一个想法就是先枚举最大公因数 ,而且可以肯定
是不可能太大的,最多是在
级别,看起来很靠谱!那么
可以写成这样(为了方便,我把质因子分解都写成
这样的形式)
说明一下,这里 这样的记号表示,如果里面的条件成立那么值是
,否则是
现在看到一个非常不舒服的一项就是那个 ,因为这样一个条件表达式根本没法化简,但是我们可以用莫比乌斯反演把它替换
把上面的式子代入就是
然后我们可以更换求和顺序,改为先对 求和
这样 就都是
的倍数,那么我们设
,就可以变成
注意到这时候对于 来说唯一的限制就是它要不大于
,那么我们令
就可以得到
这时候式子已经很清楚了,最里面是一个幂和,具体可以参考我的这篇文章,那么现在来考虑一下外面两个求和的次数,也就是有多少整数对 满足
,如果我们记
的话,这个数大约就是
那么现在来考虑最里面那个幂和,我们记 ,把式子改写成
现在有两种计算方法,一种是上面文章提到的 的方法,另一种是直接暴力快速幂计算
我们发现,当 很大的时候
是很小的,因此这时候暴力就好了,如果
很大的话,
就会变得很小,这时候就可以用平方的方法计算
现在问题就剩下一个了,如何预处理 的开方,答案是直接二分,但是你需要不断地优化常数,我在这里说说一些细节
刚开始的时候我是压 位写了 FFT,结果一直跑不过,后来改成了压
位暴力乘结果过了…… 至于原因嘛,因为这里压完位就只有一两百位数的乘法,FFT 常数太大
然后关于计算开方那里,由于我们是要计算开 次方一直到开到
为止,那么如果我们要计算的是开
次方,并且
刚好不是质数,设
,
是它的最小质因子,我们可以利用之前已经计算过的
,现在来分析一下误差有多少,首先可以知道
那么继续开方的话就会变成
可以看出来绝对误差不会超过 ,所以只要计算
,之后再检验一下之后那个数是不是还满足条件就可以了,这样会优化掉很大部分时间
再来是在计算的时候,由于一个数开方到后面有很多都是相同的数,而且这些数都是连续的区间,那么当出现两个数相同的时候我们就改为二分这个区间的右端点
关于二分的初始区间,粗略的估计可以用这个数的位数除以要开方的次数,由于结果是递减的,右端点可以用前面一次的结果,然后最精细的,你观察一下 最多有
多位,这在 long double 的范围内,你可以用 long double 来计算出一个
的近似值开方完用最高位,低位取
作为下界,如果怕有精度误差,最高位减一就可以了,实际的上下界就用上面最紧的一个
最后关于幂和的计算,实际上 还可以优化成
的,详情请看特殊多项式在整点上的线性插值方法
到此为止,这题就可以解决了,CodeChef 上最大点给了 7s,我交上去跑了 1.4s 还算挺快的
代码有点丑…… 凑和着看吧
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#include <cstdio> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> typedef int val_t; typedef long long calc_t; const val_t mod_v = 998244353; const int MaxN = 7000, MaxL = 1000, MaxR = 6000; const int bit = 7, limit = 10000000; char input_str[MaxN]; inline int cmp(int a, int b) { if(a == b) return 0; return a < b ? -1 : 1; } struct num_t { int n; val_t x[MaxL]; friend inline int cmp(const num_t& A, const num_t& B) { if(A.n != B.n) return cmp(A.n, B.n); for(int i = A.n - 1; i >= 0; --i) if(A.x[i] != B.x[i]) return cmp(A.x[i], B.x[i]); return 0; } int get_bit() const { int b = (n - 1) * bit; if(x[n - 1] < 10) return b + 1; else if(x[n - 1] < 100) return b + 2; else if(x[n - 1] < 1000) return b + 3; else if(x[n - 1] < 10000) return b + 4; else if(x[n - 1] < 100000) return b + 5; else if(x[n - 1] < 1000000) return b + 6; return b + 7; } val_t normalize() const { calc_t v = 0; for(int i = n - 1; i >= 0; --i) v = (v * limit + x[i]) % mod_v; return v; } long double get_long() const { long double v = 0; for(int i = n - 1; i >= 0; --i) v = v * limit + x[i]; return v; } long double get_long2() const { long double v = 0; for(int i = n - 1; i >= 0; --i) v = v * limit + x[i] + 2; return v; } void parse(const char* str) { int len = std::strlen(str); n = (len + bit - 1) / bit; for(int i = 0, z = len / bit; i != z; ++i) { int v = 0; for(int j = 0; j != bit; ++j) v = v * 10 + (str[len - bit + j] - '0'); len -= bit; x[i] = v; } if(len) { int v = 0; for(int i = 0; i != len; ++i) v = v * 10 + (str[i] - '0'); x[n - 1] = v; } } } one, record[MaxR]; val_t fpow(calc_t x, calc_t p) { calc_t v = 1; for(; p; p >>= 1, x = x * x % mod_v) if(p & 1) v = x * v % mod_v; return v; } class sieve_t { int pnum; char not_prime[MaxN]; int prime[MaxN]; val_t miu[MaxN], fac[MaxN]; public: sieve_t() : pnum(0) { std::memset(not_prime, 0, sizeof(not_prime)); } void init(int n) { pnum = 0; miu[1] = 1; for(int i = 2; i <= n; ++i) { if(!not_prime[i]) { miu[i] = -1; fac[i] = i; prime[pnum++] = i; } for(int j = 0; j != pnum; ++j) { int t = prime[j] * i; if(t > n) break; not_prime[t] = 1; fac[t] = prime[j]; if(i % prime[j] == 0) { miu[t] = 0; break; } else { miu[t] = -miu[i]; } } } } val_t operator() (val_t n) const { return miu[n]; } val_t get_factor(val_t n) const { return fac[n]; } } miu; void multiply(num_t& A, const num_t& B) { calc_t T[MaxN]; int size = A.n + B.n + 1; std::fill(T, T + size, 0); for(int i = 0; i != A.n; ++i) for(int j = 0; j != B.n; ++j) T[i + j] += (calc_t)A.x[i] * B.x[j]; for(int i = 0; i != size; ++i) { if(T[i] >= limit) { T[i + 1] += T[i] / limit; T[i] %= limit; } } while(size - 1 && !T[size - 1]) --size; std::copy(T, T + size, A.x); A.n = size; } void get_sum(num_t& S, const num_t& A, const num_t& B) { int len_a = A.n, len_b = B.n; S.n = std::min(A.n, B.n); int carry = 0; auto make_carry = [&carry, &S](int i) { if(S.x[i] >= limit) { S.x[i] -= limit; carry = 1; } else carry = 0; }; for(int i = 0; i != S.n; ++i) { S.x[i] = A.x[i] + B.x[i] + carry; make_carry(i); } for(int& i = S.n; i < len_a; ++i) { S.x[i] = A.x[i] + carry; make_carry(i); } for(int& i = S.n; i < len_b; ++i) { S.x[i] = B.x[i] + carry; make_carry(i); } if(carry) S.x[S.n++] = carry; } void get_sub(num_t& S, const num_t& A, const num_t& B) { int len = A.n; S.n = B.n; int carry = 0; for(int i = 0; i != S.n; ++i) { S.x[i] = A.x[i] - B.x[i] - carry; if(S.x[i] < 0) { carry = 1; S.x[i] += limit; } else carry = 0; } for(int& i = S.n; i < len; ++i) { S.x[i] = A.x[i] - carry; if(S.x[i] < 0) { carry = 1; S.x[i] += limit; } else carry = 0; } } void get_mean(num_t& M, const num_t& L, const num_t& R) { get_sum(M, L, R); bool divide = 0; for(int i = M.n - 1; i >= 0; --i) { if(divide) M.x[i] += limit; divide = M.x[i] & 1; M.x[i] >>= 1; } while(M.n - 1 && !M.x[M.n - 1]) --M.n; } void get_pow(num_t& X, int p) { num_t V = one; while(p) { if(p & 1) multiply(V, X); if(p >> 1) multiply(X, X); p >>= 1; } X = V; } void get_root(num_t& L, num_t& R, const num_t& X, int p) { while(cmp(L, R) < 0) { num_t M, P; get_mean(M, L, R); get_pow(P = M, p); if(cmp(P, X) <= 0) get_sum(L, M, one); else R = M; } } int get_p(int x) { if(x == 0) return limit / 10; return fpow(10, x - 1); } void get_root(num_t& D, const num_t& X, int p) { num_t& L = D, R; int factor = miu.get_factor(p); if(factor != p) { L = record[p / factor]; get_root(L, record[p / factor], factor); get_sub(R, L, one); get_pow(R, p); if(cmp(R, X) > 0) get_sub(L, L, one); } else { int bit_r = (X.get_bit() + p - 1) / p + 1; R.n = (bit_r + bit - 1) / bit; std::fill(R.x, R.x + R.n, 0); R.x[R.n - 1] = get_p(bit_r % bit); if(cmp(D, R) < 0) R = D; int bit_l = X.get_bit() / p; L.n = (bit_l + bit - 1) / bit; if(L.n != 0) { std::fill(L.x, L.x + L.n, 0); L.x[L.n - 1] = get_p(bit_l % bit); } else L = one; num_t L2; long double apl = std::pow(X.get_long(), 1.0 / p); int high; L2.n = 0; while(apl > 1.0) { L2.x[L2.n++] = 0; high = apl; apl /= limit; } if(L2.n && high > 1) L2.x[L2.n - 1] = high - 1; else L2 = one; if(cmp(L2, L) > 0) L = L2; get_root(L, R, X, p); } } int get_root2(const num_t& n, int L, int p) { // R < log(n) / log(p) int R = (n.n * bit + 1) / log10(p) + 1; num_t Z, P; Z.n = 1, Z.x[0] = p; while(L < R) { int M = (L + R) >> 1; get_pow(P = Z, M); if(cmp(P, n) <= 0) L = M + 1; else R = M; } return L; } class root_t { int max_index; calc_t root[MaxN]; num_t num, tmp; public: void init(calc_t n) { root[0] = 0; root[1] = n % mod_v; max_index = log2(n + 1.0e-8) + 1; for(int i = 2; i <= max_index; ++i) root[i] = (calc_t)pow(n + 1.0e-8, 1.0 / i) % mod_v; } void init(const char* str) { num.parse(str); if(num.get_long() < 1.0e18) { calc_t n = 0; for(int i = num.n - 1; i >= 0; --i) n = n * limit + num.x[i]; init(n); return; } root[0] = 0, root[1] = num.normalize(); int &i = max_index; for(i = 2, tmp = num; tmp.n != 1 || tmp.x[0] != 2; ++i) { get_root(tmp, num, i); record[i] = tmp; root[i] = (tmp.normalize() - 1 + mod_v) % mod_v; if(root[i] == root[i - 1]) break; } do { int p = root[i]; int r = get_root2(num, i, p); while(i != r) root[i++] = p; root[i] = p - 1; } while(root[i] > 1); } val_t operator() (val_t n) const { return root[n]; } int len() const { return max_index; } } root; class pow_sum_t { calc_t f[MaxN], inv[MaxN]; calc_t L[MaxN], R[MaxN], T[MaxN]; public: void init(int n) { inv[1] = 1; for(int i = 2; i <= n; ++i) inv[i] = -(mod_v / i) * inv[mod_v % i] % mod_v; } val_t operator() (calc_t r, calc_t d) { if(r == 1) return 0; calc_t ans = 0; if(d <= 5 || 3 * d + d * (log(d) + 1) < r * (log(d) + 1)) { int k = d + 1; T[0] = L[0] = R[0] = 1; f[0] = 0; for(int i = 1; i <= k + 1; ++i) { f[i] = (f[i - 1] + fpow(i, d)) % mod_v; T[i] = T[i - 1] * inv[i] % mod_v; L[i] = L[i - 1] * (r - k + i - 1) % mod_v; R[i] = R[i - 1] * (r - i + 1) % mod_v; } for(int i = 1; i <= k; ++i) { calc_t c = L[k - i] * R[i] % mod_v * T[i] % mod_v * T[k - i] % mod_v; if((i ^ k) & 1) ans = (ans - c * f[i]) % mod_v; else ans = (ans + c * f[i]) % mod_v; } ans = (ans - 1) % mod_v; } else { for(int i = 2; i <= r; ++i) ans = (ans + fpow(i, d)) % mod_v; } return ans; } } psum; int solve() { std::scanf("%s", input_str); root.init(input_str); calc_t sum = 0; for(int d = 1; d < root.len(); ++d) { // printf("(%d, %d)\n", d, root(d)); if(!miu(d)) continue; calc_t s = 0; for(int g = 1; d * g < root.len(); ++g) s = (s + psum(root(d * g), d)) % mod_v; sum = (sum + miu(d) * s) % mod_v; } return (sum + mod_v) % mod_v; } int main() { one.n = one.x[0] = 1; miu.init(MaxN - 1); psum.init(MaxN - 1); int t; std::scanf("%d", &t); while(t --> 0) std::printf("%d\n", solve()); return 0; } |
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