反演魔术:反演原理及二项式反演

首先我来说说什么是反演(inversion),对于一个数列\{f_n\}来说,如果我们知道另外一个数列\{g_n\},满足如下条件

 g_n = \sum_{i=0}^n a_{ni}f_i

反演过程就是利用 g_0, g_1, \cdots, g_n 来表示出 f_n

 f_n = \sum_{i = 0}^n b_{ni}g_i

本质上来说,反演其实是一个解线性方程组的过程,但是你观察后发现,这个矩阵实际上是一个三角矩阵,那必然存在着快捷的方法。对于使得这两个反演公式成立的这些系数应该满足什么条件呢?我们现在就来探讨一番!

我们首先讨论一下在什么情况下能够比较容易建立反演公式,之后介绍二项式反演以及它的两个应用,其中一个是错位排列问题

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