幂和

首先我们从求前 n 个整数的平方和开始,也就是

  S_n = \sum_{i=1}^n n^2

然后可以尝试对 S_n 进行“扰动”,就像这样

 \begin{eqnarray*}
S_n + (n + 1)^2 &=& \sum_{i=0}^n (i+1)^2 \\
                &=& \sum_{i=0}^n (i^2 + 2i + 1) \\
                &=& S_n + 2\sum_{i=1}^n i + (n + 1)     \\
\end{eqnarray*}

最后发现 S_n 竟然被消掉了,“扰动”失败了,但是我们注意到这求出了 \sum_{i=1}^n i 的公式

所以会想,可不可以用更高的 C_n = \sum_{i=1}^n i^3 来求出 S_n

 \begin{eqnarray*}
C_n + (n + 1)^3 &=& \sum_{i=0}^n (i+1)^3 \\
                &=& \sum_{i=0}^n (i^3 + 3i^2 + 3i + 1) \\
                &=& C_n + 3S_n + \frac{3n(n + 1)}{2} + (n + 1)     \\
\Rightarrow S_n &=& \frac{(n+1)^3 - \frac{3n(n + 1)}{2} - (n + 1)}{3} \\
                &=& \frac{n(n+\frac{1}{2})(n+1)}{3}
\end{eqnarray*}

于是这样成功地求出了 S_n 的公式,既然如此,我们又会去尝试计算更高阶的幂和

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