Day: September 20, 2014

首先我们从求前 $n$ 个整数的平方和开始，也就是

$$S_n = \sum_{i=1}^n n^2$$

然后可以尝试对 $S_n$ 进行“扰动”，就像这样

$$\begin{eqnarray*}S_n + (n + 1)^2 &=& \sum_{i=0}^n (i+1)^2 \\ &=& \sum_{i=0}^n (i^2 + 2i + 1) \\ &=& S_n + 2\sum_{i=1}^n i + (n + 1) \\ \end{eqnarray*}$$

最后发现 $S_n$ 竟然被消掉了，“扰动”失败了，但是我们注意到这求出了 $\sum_{i=1}^n i$ 的公式

所以会想，可不可以用更高的 $C_n = \sum_{i=1}^n i^3$ 来求出 $S_n$

$$\begin{eqnarray*}C_n + (n + 1)^3 &=& \sum_{i=0}^n (i+1)^3 \\ &=& \sum_{i=0}^n (i^3 + 3i^2 + 3i + 1) \\ &=& C_n + 3S_n + \frac{3n(n + 1)}{2} + (n + 1) \\ \Rightarrow S_n &=& \frac{(n+1)^3 - \frac{3n(n + 1)}{2} - (n + 1)}{3} \\ &=& \frac{n(n+\frac{1}{2})(n+1)}{3} \end{eqnarray*}$$

于是这样成功地求出了 $S_n$ 的公式，既然如此，我们又会去尝试计算更高阶的幂和

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